Якщо ви вже розумієте цілі числа й дроби, але губитеся на словах «дійсні числа», проблема не у вас. У школі це поняття часто подають як ще одну абстрактну назву, хоча за ним стоїть проста ідея: дійсні числа — це всі числа, якими можна позначити точку на звичайній числовій прямій.
Уявіть лінійку, що тягнеться без кінця в обидва боки. На ній є 0, 1, 2, від’ємні числа, половини, третини, десяткові дроби й навіть такі значення, які не можна точно записати звичайним дробом. Уся ця «лінійка без дірок» і є світом дійсних чисел.
Коротка відповідь
Дійсні числа — це всі раціональні та ірраціональні числа разом. До них належать:
- натуральні числа: 1, 2, 3;
- цілі числа: …, -2, -1, 0, 1, 2;
- дроби й скінченні або періодичні десяткові записи: 1/2, -7/3, 0,25, 0,333…;
- ірраціональні числа: √2, π та інші нескінченні неперіодичні значення.
Найпростіше правило таке: якщо число можна поставити на числову пряму як точку, у шкільній математиці це зазвичай дійсне число.
Що вже є до дійсних чисел
Поняття чисел розширюється поступово, бо кожен новий крок розв’язує проблему, яку попередній набір чисел не закривав.
Натуральні числа
Спочатку є числа для лічби: 1, 2, 3, 4. Ними зручно рахувати яблука, книжки або кроки. Але ними не поясниш борг, температуру нижче нуля чи відсутність предметів.
Цілі числа
Тому додають 0 і від’ємні числа: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Вони вже добре описують борги, поверхи нижче першого, температуру -5 °C. Але між 1 і 2 все ще немає половини.
Раціональні числа
Потім додають дроби: 1/2, 3/4, -5/7. Раціональне число — це будь-яке число, яке можна записати як дріб a/b, де a і b — цілі числа, а b не дорівнює нулю.
Сюди ж входять десяткові дроби, якщо вони:
- закінчуються: 0,5; 2,75; -10,125;
- або повторюються за шаблоном: 0,333…, 1,272727…
На цьому етапі здається, що числова пряма вже заповнена. Але ні: між дробами все ще є числа, які не можна записати жодним точним дробом.
Навіщо потрібні ірраціональні числа
Класичний приклад — √2. Це число виникає, якщо взяти квадрат зі стороною 1 і виміряти його діагональ. За теоремою Піфагора довжина діагоналі дорівнює √2.
Проблема в тому, що √2 не можна точно записати як дріб двох цілих чисел. Його десятковий запис починається як 1,41421356…, але цифри не закінчуються й не повторюються стабільним блоком.
Такі числа називають ірраціональними. Вони не «нелогічні» в побутовому сенсі. Назва означає лише те, що число не є ratio — тобто не виражається точним відношенням двох цілих чисел.
До ірраціональних чисел належать, наприклад:
- √2;
- √3;
- π;
- багато інших коренів і математичних констант.
Числова пряма без дірок
Ось головна ідея: раціональні числа дуже щільні, але вони не заповнюють пряму повністю.
Між 1 і 2 можна знайти безліч дробів: 1,1; 1,25; 1,333…; 1,999. Між будь-якими двома дробами є ще один дріб. Але довжина діагоналі квадрата зі стороною 1 теж має бути точкою на тій самій прямій, хоча дробом її не записати.
Дійсні числа додають до раціональних усі такі «пропущені» точки. Тому їх зручно уявляти не як список, а як суцільну лінію.
Просте порівняння на прикладах
Ось як відрізняти основні типи чисел:
| Приклад | Тип | Чому |
|---|---|---|
| 7 | натуральне, ціле, раціональне, дійсне | можна рахувати й записати як 7/1 |
| -4 | ціле, раціональне, дійсне | записується як -4/1 |
| 0,5 | раціональне, дійсне | це 1/2 |
| 0,333… | раціональне, дійсне | це 1/3 |
| √2 | ірраціональне, дійсне | не записується точним дробом |
| π | ірраціональне, дійсне | десятковий запис нескінченний і неперіодичний |
Важлива деталь: натуральні, цілі й раціональні числа не протистоять дійсним. Вони входять у дійсні числа як менші групи.
Чи всі нескінченні десяткові числа ірраціональні
Ні. Нескінченність запису сама по собі нічого не доводить.
Наприклад, 0,333333… нескінченне, але це звичайний дріб 1/3. Число 0,121212… теж раціональне, бо блок «12» повторюється.
Ірраціональним буде десятковий запис, який:
- не закінчується;
- не має повторюваного шаблону;
- не може бути точно перетворений на дріб із цілих чисел.
Тому практичне правило таке: скінченний або періодичний десятковий запис — раціональний; нескінченний неперіодичний — ірраціональний.
Чим дійсні числа відрізняються від не дійсних
У шкільному курсі після дійсних чисел іноді з’являються комплексні числа. Вони потрібні, наприклад, щоб працювати з квадратним коренем із -1.
На звичайній числовій прямій немає числа, квадрат якого дорівнює -1. Адже і 2², і (-2)² дають додатний результат. Для цього вводять уявну одиницю i, але це вже інша система — комплексна площина, а не проста числова пряма.
Тому, якщо дуже коротко:
- дійсні числа живуть на прямій;
- комплексні числа потребують площини;
- для базової арифметики, вимірювань і більшості побутових задач дійсних чисел достатньо.
Як запам’ятати без формул
Уявіть, що числа — це карта.
Натуральні числа — це окремі будинки: 1, 2, 3. Цілі числа додають будинки в інший бік і нульову точку. Раціональні числа додають адреси між будинками: 1/2, 1/3, 1,75. А дійсні числа кажуть: на дорозі має бути кожна можлива точка, навіть якщо її адресу не можна красиво записати дробом.
Саме тому дійсні числа використовують для довжин, часу, температури, координат і всього, що може змінюватися плавно.
Найчастіші помилки
«Ірраціональні числа — це приблизні числа»
Ні. Приблизним може бути запис, наприклад 3,14 для π. Але саме π — точне число. Просто його не можна повністю записати скінченним десятковим дробом.
«Раціональні числа — це тільки дроби з рискою»
Не зовсім. Число 0,25 теж раціональне, бо це 1/4. Число 5 теж раціональне, бо це 5/1.
«Дійсні числа — це щось складніше за дроби»
Вони ширші, але не обов’язково складніші. Це просто назва для повного набору чисел на прямій: і дробів, і недробових значень на кшталт √2.
Підсумок
Дійсні числа — це всі числа, які заповнюють числову пряму. Якщо ви вже знаєте раціональні числа, то для переходу до дійсних треба додати лише одну важливу ідею: існують числа, які мають точне місце на прямій, але не записуються як дріб двох цілих чисел.
Саме ці числа називають ірраціональними. Разом із раціональними вони утворюють дійсні числа — набір, яким ми описуємо майже всі звичні вимірювання в реальному світі.
